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グラフ理論が最も役にたった（最も利益を上げた）実例を教えてください。

Googleの検索エンジンはウェブグラフのページランクに基づくランキングを用いたことにより成功したと言われています。

中心性をどの種類を選んで、どんなビッグデータを解析できるのか？その選択の仕方について教えてください。

物事の関係が現れているあらゆるデータでグラフ解析を用いることができます。各種中心性の個性はあまり単純ではないので、慣れていない方は、有名なものをいくつか試して用途に適した結果が得られるものを選択すると良いでしょう。

インターネットでメールが迷子になることは、あると思います。しかし、実のところ、不達でも不達メールが来ます。じつは距離は小さいことに依るからですか？

電子メールの配送は、インターネットのネットワーク上で迷子にならないように、アルゴリズム的にきちんと設計されています。簡単に説明すると、次に手渡すべき先というのがちゃんと分かるようになっています。グラフ的な意味の平均距離が小さいことは配送の効率への影響はあるかもしれませんが、不達メールがちゃんと来るのも、電子メールの配送がちゃんとしたメカニズムの下で行われているからです。

この考え方は、「選挙」活動のようなことに利用されないだろうか？

活用される可能性は有ると思います。関連するのは、商品のマーケティングにおいてネットワーク上の伝搬の効果を利用するバイラルマーケティングです。同様の手法が活用できるかもしれません。

グラフについての参考文献のご紹介をお願いします。

読み物として一般の方でも楽しめるお勧めは「『複雑ネットワーク』とは何か―複雑な関係を読み解く新しいアプローチ」（増田 直紀、今野 紀雄）です。より学術的な教科書としてのお勧めは「複雑ネットワーク―基礎から応用まで」（増田 直紀、今野 紀雄）です。