研究背景・目的
コンピュータやスマホで行う作業では、ほぼ必ず数値計算が行われます。Google検索や写真データ圧縮などが好例です。その計算の多くは、行列問題という数学の問題です。私はこれらを速く正確に解くためのアルゴリズム開発や、背景にある行列や関数の数学的解析の研究をしています。例えば、数値計算を行う際、必ず現れるのが丸め誤差やデータ自体の不確かさで、これらによる計算結果への影響を理解しておくことは信頼できる数値計算を行う上で肝要です。美しい理論と重要な分野への応用という両面を併せ持つ魅力的な研究分野です。
研究内容
大規模な行列を扱う問題は、大きくは線形方程式Ax=b（中学校で習う連立方程式）と固有値問題Ax=λxに大別されます。私の研究では特に固有値問題を扱います。固有値問題と言っても、関数近似論や最適化、複素関数論、統計等と深く関わる奥の深い分野です。大規模な固有値計算は高次多項式の根を計算することと等価で、厳密な値を得ることは原理的に不可能なのですが、高い精度の近似値を得る信頼性の高いアルゴリズムが知られています。固有値を計算することで、関数（例えば商品の売上モデル）を最大化したり、曲線の交点を求めたりすることができます（図）。
図）様々な問題が関数近似と行列（ここでは固有値）計算によって解決できる
産業応用の可能性
数値計算アルゴリズムは上に挙げたGoogle検索、最適化、物理や生物シミュレーションの他、写真やデータの圧縮等のデータ解析、天気予報、医療等へ応用されます。数値計算法を改善することで、今まで不可能だった大規模なデータを扱ったり、治療時間を短縮したりすることができます。例えば、行列の特異値分解（固有値の仲間）は従来、画像圧縮に使われていましたし、圧縮センシングと呼ばれる数値計算アルゴリズムはMRIの検査時間の大幅な短縮を実現しました。現在のビッグデータの時代では、数値データを表現する道具として行列やテンソル（行列の高次元版）が広く使われ、データ解析では頻繁に数値計算アルゴリズムを行列やテンソルへ適用します。
